Question

如圖幾何體中,四邊形為矩形，，，，，為的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)，且.

（1）證明：面；
（2）證明：面面；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，得知為的中點(diǎn)，連接
根據(jù)點(diǎn)為中點(diǎn)，利用三角形中位線定理，得出，進(jìn)一步得到
面.
（2）首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，應(yīng)用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識(shí)的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.
試題解析：（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接
因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以為的中位線，
所以                                2分
面，面，
所以面       4分
（2）取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，
所以共面
作于，于，則且
，
和全等，
和全等，
，為中點(diǎn)，
又，，面
，面                      6分

以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，設(shè)，則，
，
設(shè)面的法向量
，
由，令
                               8分
設(shè)面的法向量
，
由，令
                             10分

設(shè)二面角的平面角為，
則              12分