Question

（普通班做） 設函數f（x）=lnx+x²+ax．若f（x）在其定義域內為增函數，則a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：f（x）在其定義域內為增函數可轉化成只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關系，解之即可．
解答：解：f（x）的定義域為（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
①當△≤0，即-2 ≤a≤2 時，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，此時f（x）為增函數．
②當△＞0，即 a＜-2 或 a＞2 時，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內為增函數，
只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0即可，
設h（x）=2x²+ax+1，
由  得a＞0，所以 a＞2 ．
由①②可知，若f（x）在其定義域內為增函數，a的取值范圍是[-2 ，+∞）．
故答案為：[-2，+∞）．
點評：本題以函數為載體，主要考查了利用導數研究函數的單調性和不等式的證明，屬于中檔題．