Question

如圖，用半徑為R的圓鐵皮，剪一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形的漏斗，問圓心角α取什么值時，漏斗容積最大．（圓錐體積公式：V=

1

3

πr2h，其中圓錐的底面半徑為r，高為h）

Answer 1

分析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導數求出函數的最大值，得到結果．

解答：解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr2h
=

1

3

π(R2-h2)h=

1

3

πR2h-

1

3

πh3(0＜h＜R)．…（3分）V′=

1

3

πR2-πh2．
令V'=0，即

1

3

πR2-πh2=0，得h=

3

3

R．…（5分）
當0＜h＜

3

3

R時，V'＞0．
當

3

3

R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=

3

3

R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得r=

6

3

R．
由Ra=2πr，得a=

2 6

3

π
答：圓心角α為

2 6

3

π弧度時，漏斗容積最大．…（12分）

點評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關系，體積的計算，考查計算能力，導數的應用，必須注意函數的單調性與最值的關系．