Question

已知，A是拋物線y²=2x上的一動點，過A作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于EF兩點，交拋物線于M．N兩點，交y軸于B．C兩點
（1）當A點坐標為（8，4）時，求直線EF的方程；
（2）當A點坐標為（2，2）時，求直線MN的方程；
（3）當A點的橫坐標大于2時，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DEFA四點共圓，知EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，由此能求出EF的方程．
（2）設AM的方程為y-2=k（x-2），由kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得=1，由此能求出MN的方程．
（3）設P（x，y），B（0，b），C（0，c），設b＞c，直線PB的方程為y-b=，由圓心（1，0）到PB的距離為1，知=1，故（x-2）b²+2yb-x=0，同理有（x-2）c²+2yc-x=0，故b，c是方程（x-2）t²+2yt-x=0的兩個實數根，由此能求出S_△PBC的最小值．
解答：解：（1）∵DEFA四點共圓
EF是圓（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦
∴EF的方程為7x+4y-8=0…（4分）
（2）設AM的方程為y-2=k（x-2）
即kx-y+2-2k=0與圓（x-1）²+y²=1相切得
=1
∴k=，
把y-2=（x-2）代入y²=2x得M（，），而N（2，-2）
∴MN的方程為3x+2y-2=0…（8分）
（3）設P（x，y），B（0，b），C（0，c），不妨設b＞c，
直線PB的方程為y-b=，
即（y-b）x-xy+xb=0
又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以=1，故
（y-b）²+x²=（y-b）²+2xb（y-b）+x²+b²
又x＞2，上式化簡得（x-2）b²+2yb-x=0
同理有（x-2）c²+2yc-x=0
故b，c是方程（x-2）t²+2yt-x=0的兩個實數根
所以b+c=-，bc=-，則（b-c）²=，
因為P（x，y）是拋物線上的點，所以有y²=2x，則
（b-c）²=，b-c=，
∴S_△PBC=（b-c）x==x-2++4≥2+4=8
當（x-2）²=4時，上式取等號，此時x=4，y=±2，
因此S_△PBC的最小值為8…（13分）
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．