Question

已知函數f（x）=x²-2lnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[

1

e

，e]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=x²-x+a在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）不等式f（x）＜m恒成立，只需f（x）max＜m即可．轉化為求函數最大值．利用導數工具求解．
（3）方程f（x）=x²-x+a變形為x-2lnx-a=0，令g（x）=x-2lnx-a（x＞0），利用數形結合的思想，要求g（x）在區間[1，3]上恰好有兩個相異的零點．通過g（x）的單調性及最值，極值求解．

解答：解：（1）由函數f（x）=x²-2lnx知其定義域為{x|x＞0}…（1分）
∵f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函數f（x）單調增區間是（1，+∞）；減區間是（0，1）…（4分）
（2）由題意知不等式f（x）＜m對?x∈[

1

e

，e]恒成立
∴m＞f(x)max，x∈[

1

e

，e]…（5分）
∴令f'（x）=0得x=1或-1（舍）
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	1 e	( 1 e ，1)	1	（1，e）	e
f'（x）		-	0	+
f（x）	1 e2 +2	減	極小值f（1）	增	e2-2

∴f(x)max=max{f(

1

e

)，f(e)}…（7分）
又f(

1

e

)=

1

e2

+2＜f(e)=e2-2
∴f(x)max=f(e)=e2-2
∴m＞e²-2
∴實數m的取值范圍是（e²-2，+∞）…（9分）
（3）依題意：關于x的方程f（x）=x²-x+a在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根
即方程x²-2lnx=x²-x+a在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根
∴化簡得方程x-2lnx-a=0在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根  …（10分）
令g（x）=x-2lnx-a，（x＞0）
∴g′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

令g'（x）=0，得x=2
∴當x∈（0，2）時，g'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，g'（x）＞0．
∴函數g（x）在區間（0，2）上為減函數，在區間（2，+∞）上為增函數
∴要使方程x-2lnx-a=0在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，則

g(1)＞0 g(2)＜0 g(3)＞0

即

1-a＞0 2-2ln2-a＜0 3-2ln3-a＞0

…（13分）
解得2-2ln2＜a＜3-2ln3
∴實數a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3）．  …（14分）

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，恒成立問題，函數與方程，數形結合思想，屬于中檔題．