Question

證明二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的兩個零點在點（m，0）的兩側的充要條件是af（m）＜0．

Answer 1

充分性：設△=b²-4ac≤0則af（x）=a²x²+abx+ac=a²（x+

b

2a

）²-

b2

4

+ac=a²（x+

b

2a

）²-

1

4

（b²-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，這與af（m）＜0矛盾，即b²-4ac＞0．
故二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有兩個不等的零點，設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，從而f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，所以x₁＜m＜x₂．
必要性：設x₁，x₂是方程的兩個零點，且x＜x₂，由題意知x₁＜m＜x₂，
因為f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且x₁＜m＜x₂．
∴af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，即af（m）＜0．
綜上所述，二次函數f（x）的兩個零點在點（m，0）的兩側的充要條件是af（m）＜0．