Question

【題目】若數列{an}和{bn}的項數均為n，則將 定義為數列{an}和{bn}的距離．
（1）已知 ，bn=2n+1，n∈N* ， 求數列{an}和{bn}的距離dn ．
（2）記A為滿足遞推關系 的所有數列{an}的集合，數列{bn}和{cn}為A中的兩個元素，且項數均為n．若b1=2，c1=3，數列{bn}和{cn}的距離大于2017，求n的最小值．
（3）若存在常數M＞0，對任意的n∈N* ， 恒有 則稱數列{an}和{bn}的距離是有界的．若{an}與{an+1}的距離是有界的，求證： 與 的距離是有界的．

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{an}和{bn}的前n項和分別為2n+1﹣2，n2+2n，

∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|，

當n=1，21+1﹣2﹣12﹣2×1=﹣1

當n=2時，22+1﹣2﹣22﹣2×2=﹣2

當n=3時，23+1﹣2﹣32﹣2×3=﹣1

當n=4時，24+1﹣2﹣42﹣2×4=6，

∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|=

（2）解：設a1=p，其中p≠0，且p≠±1，由 ，

∴a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=p，

∴a1=a5，

因此A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，

數列{bn}中， ，

數列{cn}中， ，

∵

∴項數n越大，數列{bn}和{cn}的距離越大．

∵ ，

而 = ，|c1﹣b1|=1，|c2﹣b2|=1

因此，當n=3457時， ，當n=3458時， ，

故n的最小值為3458

（3）證明：∵{an}與{an+1}的距離是有界的，

∴存在正數M，對任意的n∈N*，有|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|≤M，

∵|an|=|an﹣an﹣1+an﹣1+an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤|M+|a1|，

記|≤|M+|a1|，則有|an+12﹣an2|=|（an+1﹣an）（an+1+an）|≤|an+1﹣an|（|an+1|+|an|）≤2K|an+1﹣an|，

∴|an+12﹣an2|+|an2﹣an﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM，

故 與 的距離是有界的

【解析】（1）數列{an}和{bn}的前n項和分別為2n+1﹣2，n2+2n，根據新定義求出即可；（2）由數列的遞推公式，即可求得a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， 求得A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，求得數列{bn}和{cn}規律，可知隨著項數n越大，數列{bn}和{cn}的距離越大，由 ，根據周期的定義，求得n的最大值；（3）根據新定義結合絕對值不等式，即可證明．