Question

已知拋物線與坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為.

（1）求實數的取值范圍；

（2）設拋物線與ｘ軸的交點從左到右分別為A、B，與ｙ軸的交點為C，求A、B、C三點的坐標；

（3）設直線是拋物線在點A處的切線，試判斷直線是否也是圓的切線？并說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

直線不可能是圓的切線．

【解析】解：（１）∵拋物線與坐標軸有三個交點∴，否則拋物線與坐標軸只有兩個交點，與題設不符,由知，拋物線與ｙ軸有一個非原點的交點，故拋物線與ｘ軸有兩個不同的交點，即方程有兩個不同的實根

∴即

∴的取值范圍是或-----------------------------------3分

（２）令ｘ＝０得，∴  ---------------------------------4分

令得解得

∴,  ------------------------------6分

（３）解法１：∵　∴

∴直線的斜率-----------------------7分

∵圓過A、B、C三點，∴圓心M為線段AB與AC的垂直平分線的交點

∵AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸

∵線段AC的中點為直線AC的斜率

∴線段AC的垂直平分線方程為---()----10分

將代入()式解得，即------------------------11分

∴，若直線也是圓的切線，則

即解得

這與或矛盾       ----------------------------------------13分

∴直線不可能是圓的切線．       -----------------------------------14分

解法２：∵　∴

∴直線的斜率---------------------------7分

設圓的方程為

∵圓過,，

∴　解得------------10分

∴圓心  -------------------------------------------------11分

∴，若直線也是圓的切線，則

即解得

這與或矛盾----------------------------------------13分

∴直線不可能是圓的切線．-----------------------------------14分