Question

【題目】已知函數f（x）是定義域為R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵函數f（x）是定義域為R上的奇函數，
∴f（x）=﹣f（﹣x）
又∵當x＞0時，f（x）=x2+2x．
若x＞0，則﹣x＜0．f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x
∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x﹣x2 ．
∴f（x）=；
（2）當x＞0時，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，
區間（0，+∞）在對稱軸x=﹣1的右邊，為增區間，
由奇函數的性質，可得f（x）在R上遞增．
不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即為
f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），
即有1+2t＞2﹣t，解得t＞
則t的取值范圍是（，+∞）．
【解析】（1）運用奇函數的定義，可得x＜0的解析式，進而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）在R上遞增．不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即為f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），即有1+2t＞2﹣t，解不等式即可得到所求范圍．