Question

過橢圓

x2

4

+y2=1的左焦點作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于A、B、C、D四點，則四邊形ABCD面積的最小值為（　　）

• A、2
• B、

  34

  25

• C、

  33

  25

• D、

  32

  25

Answer 1

分析：由橢圓

x2

4

+y2=1可得a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．分類討論：
當AC或BD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時，此時四邊形ABCD面積S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b²．
當直線AC和BD的斜率都存在時，不妨設直線AB的方程為y=k(x-

3

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

3

)．分別與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式可得|AB|，|CD|．利用四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB| |CD|即可得到關于斜率k的式子，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：由橢圓

x2

4

+y2=1可得a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．
①當AC或BD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時，此時四邊形ABCD面積S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b²=2．
②當直線AC和BD的斜率都存在時，不妨設直線AB的方程為y=k(x-

3

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

3

)．
聯立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，化為(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
∴x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 8 3 k2 1+4k2 )2- 4(12k2-4) 1+4k2 ]

=

4 1+k2

1+4k2

．
把k換成-

1

k

可得|CD|=

4 1+k2

4+k2

．
∴四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB| |CD|=

1

2

×

4 1+k2

1+4k2

×

4 1+k2

4+k2

=

8(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

≥

8(1+k2)

( 5+5k2 2 )2

=

32

25

．
當且僅當1+4k²=4+k²，即k²=1時取等號．
綜上可知：四邊形ABCD面積S的最小值是

32

25

．
故選：D．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、四邊形面積計算公式、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．