Question

在等比數列{a_n}中，an＞0  (n∈N*)且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=-30+4log2an(n∈N*)，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項，結合等差數列的性質及通項公式可求q，a₁，從而可求通項
（2）由已知可求b_n，結合等差數列的求和公式及二次函數的性質可求S_n的最小值．

解答：解：（1）由已知得，a22=4，    2(a2q+1)=a2+a2q2，
∵an＞0，   ∴a2=2，    2(2q+1)=2+2q2
∴q=2，a₁=1
∴an=2n-1
（2）∵bn=-30+4log22n-1=4n-34
∴b_n+1-b_n=4，即{b_n}為等差數列，首項b₁=-30，
∴Sn=

n(b1+bn)

2

=2n2-32n，
設f（x）=2x²-32x，其對稱軸為x=8，且開口向上，
∴f（x）_min=f（8），即S_n的最小值為S₈=-128．

點評：本題主要考查了等差數列的性質求和公式及等比數列的通項公式的應用．