Question

已知函數f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函數f（x）的值域為[0，+∞），求a的值；
（2）若函數f（x）≥0恒成立，求函數g（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析：利用二次函數的單調性、恒成立問題與△的關系即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）=（x+2a）²+2a+6-4a²的值域為[0，+∞），∴-4a²+2a+6=0，解得a=-1或

3

2

．
（2）∵函數f（x）≥0恒成立，∴△=16a²-4（2a+6）≤0，解得-1≤a≤

3

2

．
∴g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-(a-

3

2

)2+

17

4

．
∵g（a）在區間[-1，

3

2

]單調遞增，∴g（a）_min=g（-1）=4，g(a)max=g(

3

2

)=

17

4

．
∴函數g（a）的值域為[4，

17

4

]．

點評：利用二次函數的單調性、恒成立問題與△的關系即可得出．