Question

如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，求m+n的值．

Answer 1

分析：根據題意和幾何圖形作出輔助線：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，利用O是BC的中點，得到三角形全等和相似，利用相似比和線段的關系列出等式，再把條件代入求出m+n的值．

解答：解：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，如圖：
則△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴

NC

AN

=

CM′

AM

，即

AN-AC

AN

=

AB-AM

AM

，
∵

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，
∴|

AB|

=m

|AM|

，|

AC|

=n

|AN|

，
代入上式得，n-1=1-m，則m+n=2．

點評：本題考查了向量在幾何中的應用，利用條件和圖形作出輔助線，由三角形全等和相似得到相似比，再由向量的模和線段的之間關系代入求出值，考查了數形結合思想．