Question

已知函數f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若f(α)=

10

13

，且α∈[

π

4

，

π

2

]，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、輔助角公式，化簡函數，即可求函數f（x）的最小正周期；
（2）整體思維，結合角的變換，可求sin2α的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)．
所以函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（6分）
（2）由題2sin(2α+

π

6

)=

5

13

，得sin(2α+

π

6

)=

5

13

，
因為

π

4

≤α≤

π

2

，則

2π

3

≤2α+

π

6

≤

7π

6

，
則cos(2α+

π

6

)=-

12

13

，…（9分）
所以sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-cos(2α+

π

6

)sin

π

6

=

5 3 +12

26

．…（14分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查角的變換，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．