Question

如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點。
（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；
（Ⅲ）是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE//PC， 又因為DE平面BCP， 所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）證明：因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF， 所以四邊形DEFG為平行四邊形， 又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG， 所以四邊形DEFG為矩形。
（Ⅲ）解：存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG， 設Q為EG的中點，由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG， 分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。 與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形， 其對角線點為EG的中點Q，且QM=QN=EG， 所以Q為滿足條件的點。