Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別為AB、PC的中點；
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：MN⊥CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取的PD中點為E，并連接NE，AE，根據中位線可知NE∥CD且NE=

1

2

CD，AM∥CD且AM=

1

2

CD，則AM∥NE且AM=NE，從而四邊形AMNE為平行四邊形，所以AE∥MN，又因AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，根據線面平行的判定定理可知A₁C∥平面BDE，從而MN∥平面PAD．
（Ⅱ）根據PA⊥矩形ABCD則PA⊥CD，又因四邊形ABCD為矩形則AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，又因AE?在平面PAD，根據線面垂直的性質可知CD⊥AE，根據AE∥MN，可知MN⊥CD．

解答：證明：（Ⅰ）取的PD中點為E，并連接NE．AE∵M、N分別為AB、PC的中點
∴NE∥CD且NE=

1

2

CD，AM∥CD且AM=

1

2

CD∴AM∥NE且AM=NE
∴四邊形AMNE為平行四邊形∴AE∥MN
又∵又AE?在平面PAD，MN?在平面PAD∴A₁C∥平面BDE．
∴MN∥平面PAD（4分）

（Ⅱ）證明：∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又
∵四邊形ABCD為矩形∴AD⊥CD
∴CD⊥平面PAD
又∵AE?在平面PAD∴CD⊥AE
再∵AE∥MN
∴MN⊥CD

點評：本小題主要考查直線與平面平行，以及空間兩直線的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．