Question

設向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），記f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）畫出函數f（x）在區間[-

π

12

，

11π

12

]的簡圖，并指出該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
（Ⅲ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數g（x）的最大值并指出x取何值時，函數g（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（I）通過數量積的運算，并且結合兩角和的正弦公式可得f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，進而求出函數的周期．
（II）根據整體2x+

π

6

與x的范圍，取值列表，描點，連線進而得到很多的圖象．
（III）根據題意可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．結合題意求出m=2，所以g（x）的最大值為

7

2

．并且此時x=

π

3

．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f(x)=a•b=

3

sinxcosx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

所以最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．             
（Ⅱ）

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

將函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

單位得到函數y=sin(x+

π

6

)的圖象，再保持縱坐標不變，橫坐標縮短為原為的

1

2

得到函數y=sin(2x+

π

6

)的圖象，最后再向上平移

1

2

個單位得到就可得到函數y=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的圖象．
     
（Ⅲ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
由g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．
又因為函數g（x）=f（x）+m的最小值為2，
所以m=2．
所以函數g（x）的最大值為

7

2

．
當2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時，函數g（x）取得最大值

7

2

．

點評：熟練掌握數量積的運算律，以及熟練掌握三角函數的有關性質，如周期性，單調性，奇偶性，對稱性等性質，這也是近幾年高考題中的常見題型．?