Question

如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的，△ABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別是A，B，C為圓心，AC，BA₁，CA₂為半徑畫的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線的第一圈；然后又以A為圓心，AA₃半徑畫弧，如此繼續(xù)下去，這樣畫到第圈．設(shè)所得螺旋線CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長度為S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意如果這樣畫到第n圈得到n條螺旋線，是由3n條弧長構(gòu)成，這些弧長的圓心角都為

2π

3

，根據(jù)弧長公式得到這些弧長是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線的總長度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．

解答：解：根據(jù)弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…，A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π×2

π

，…

2π 3 ×π×3n

π

，
即對應(yīng)的長度分別為：

2π

3

，2×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，
此數(shù)列是以

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=n（3n+1）π．
故答案為：n（3n+1）π

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長成等差數(shù)列．