Question

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-

x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）利用換元法先求出f（x）的表達式，利用函數的性質確定函數的定義域．
（2）利用換元法先求出f（x）的表達式，然后利用復合函數的單調性判斷單調區間．

解答：解：（1）設t=a^x，則x=log_at，t＞0
所以f(t)=log?at-

log?at

，所以f(x)=log?ax-

logax

，要使函數有意義則
log_ax≥0，若a＞1，則x≥1．若0＜a＜1，則0＜x＜1．
所以若a＞1，函數的定義域為[1，+∞）．若0＜a＜1，函數的定義域為（0，1）
（2）由（1）知f(x)=log?ax-

logax

，令u=

logax

≥0，則y=f（u）=u²-u，
①當a＞1時，f（u）在u∈[0，

1

2

)單調遞減，在u∈[

1

2

，+∞)單調遞增．
而u=

logax

≥0，在[1，+∞）恒為單調遞增．
所以原函數f（x）在[1，a

1

4

）上單調遞減，在[a

1

4

，+∞）單調遞增．
②當0＜a＜1時，同理可得，原函數f（x）在（a

1

4

，1）單調遞增．
在（0，a

1

4

）單調遞增．

點評：本題主要考查復合函數的定義域以及復合函數的單調性的判斷，綜合性較強，難度較大．