Question

已知定義域為區間[a，b]的函數f（x），其圖象是一條連續不斷地曲線，且滿足下列條件：①f（x）的值域為G，且G⊆[a，b]；②對任意不同的x、y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，那么函數g（x）=f（x）-x在區間[a，b]上（ ）
A．沒有零點
B．有且只有一個零點
C．恰有兩個不同的零點
D．有無數個不同的零點

Answer 1

【答案】分析：由題意設g（x）=f（x）-x，已知區間[a，b]判斷兩個端點與0的關系，根據根的存在定理進行求解．
解答：解：由①知g（a）=f（a）-a≥a-a=0，g（b）=f（b）-b≤b-b=0
設a≤x₁≤x₂≤b，由②知f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，g（x₂）＜g（x₁）
函數g（x）在區間[a，b]上是減函數，從而函數g（x）在區間[a，b]上有且只有一個零點．
故選B．
點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數單調性的判定，同時考查了轉化的能力，屬于基礎題．