Question

19．函數y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 將函數化為y=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，討論x=0，x＞0，x＜0，分子常數化，運用基本不等式即可得到所求最值，進而得到范圍．

解答 解：函數y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$
=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，
當x=0時，y=1；
當x＞0時，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{4}{x}}}$=$\frac{5}{4}$，
當且僅當x=2時取得最大值$\frac{5}{4}$；
當x＜0時，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{（-x）•\frac{4}{-x}}}$=$\frac{3}{4}$，
當且僅當x=-2時取得最小值$\frac{3}{4}$．
則函數y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查函數的值域的求法，注意運用討論思想方法，以及基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．