Question

設點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），T（x₀，f（x₀））在函數f（x）=x³-ax（a＞0）的圖象上，其中x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，x₀（x₀≠0）是f（x）的一個零點，若函數f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=________．

Answer 1

分析：先把函數的零點求出來，再對函數f（x）求導并求出其零點，列出表格和畫出圖象，利用在斜率存在的條件下兩條直線垂直的充要條件k₁k₂=-1即可求出答案．
解答：令f（x）=0，（a＞0），則，解得x=0，．
∵x₀（x₀≠0）是f（x）的一個零點，∴或．
∵f^′（x）=3x²-a=，
令f^′（x）=0，解得，列表如下：
由表格可知：當x=時，函數f（x）取得極小值，且；
當x=-時，函數f（x）取得極大值，且=；
不妨設A，B．∴．
根據表格作出如下圖象：
①當時．=2a，
∵函數f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴，（a＞0），解得．
②當時．=2a，
∵函數f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴，（a＞0），解得a=．
綜上可知：滿足條件的a的值為．
故答案為．
點評：充分利用導數研究函數的性質和理解函數的零點是解題的關鍵．