Question

如圖：設一正方形紙片ABCD邊長為m，從此紙片中裁剪出一個正方形和四個全等的等腰三角形，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中AH⊥PQ，O為正四棱錐底的中心
（1）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積V；
（2）設等腰三角形底角為x，試把正四棱錐側面積S表示為x的函數，并求S的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設正四棱錐底面邊長為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，AH=y，∴，再由2AH+y=AC得∴根據體積公式求解．
（2）按照（1）的思路：則有AH=由2AH+y=AC得，再由側面積公式建立模型．用導數研究最值．
解答：解：（1）設正四棱錐底面邊長為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，
∴AH=y，
∵OH=∴
由2AH+y=AC得
∴=
（2）設正四棱錐的底面邊長為y
則AH=由2AH+y=AC得，
∴即為所求表達式，
∵
∴tanx＞1
令t=tanx則
由恒成立知
函數在（1，+∞）上為減函數．
∴即為所求的范圍．
點評：本題主要考查通過空間幾何體的結構特征，來考查如何尋求各邊之間量的關系及求幾何體的體積和表面積問題．