Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E為棱PC上異于C的一點，DE⊥BE．
（1）證明：E為PC的中點；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，，∠BCD=90°，E為棱PC上異于C的一點，DE⊥BE，我們易得到BC⊥DE，根據等腰三角形三線合一的性質，即可得到E為PC的中點；
（2）設二面角P-DE-A的大小為θ，則sinθ=

d

PE

（其中d為P到平面ADE的距離），利用等體積法求出d值后，即可得到二面角P-DE-A的大小．

解答：證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵DE?平面PCD
∴BC⊥DE
又由PD=DC=1，
∴E為PC的中點；
解：（2）∵DE=

2

2

，AD=

2

，AE=

14

2

，由余弦定理可得：
∠ADE=

2π

3

故S_△ADE=

1

2

•AD•DE•sin∠ADE=

3

4

設P點到平面ADE的距離為d
則V_P-AED=V_A-PDE=

1

4

則d=

3

3

又∵PE⊥DE，設二面角P-DE-A的大小為θ，則sinθ=

d

PE

=

6

3

故二面角P-DE-A的大小為arcsin

6

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是根據線面垂直的性質得到線線垂直，（2）的關鍵是根據sinθ=

d

PE

（其中d為P到平面ADE的距離）計算二面角P-DE-A的正弦值．