Question

已知F₁，F₂是橢圓的兩焦點，P為橢圓上一點，若∠F₁PF₂=60°，則離心率e的范圍是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：由題意，可設|PF₁|=m，|PF₂|=n． 在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．再由定義得出m+n=2a，然后進行恒等變形，將4c²=m²+n²-2mncos60°量m，n用a，c表示出來即可得出離心率的取值范圍

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤(

m+n

2

)2=a²（當且僅當m=n時取等號），
∴4a²-4c²≤3a²，∴

c2

a2

≥

1

4

，即e≥

1

2

．
∴e的取值范圍是[

1

2

，1）．
故答案為[

1

2

，1)

點評：本題考查橢圓的簡單性質，解答的關鍵在 在△PF₁F₂中，利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式得到關于a，c的不等式，本題綜合性強，難度中等