Question

已知函數f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若對?a∈(-

1

2

，

1

2

)，函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時要求求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程只需求出切線的斜率而根據導數的幾何意義可知切線的斜率為f^′（2）．
（Ⅱ）此題是對?a∈(-

1

2

，

1

2

)函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零屬恒成立的問題因此可轉變思路將此函數看成關于a的函數即關于a的恒成立問題，然后可利用一次函數的知識進行求解．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x3-

3

2

x2+1
∴f（2）=3
∵f’（x）=3x²-3x
∴f’（2）=6．
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9．
（Ⅱ）把原函數看成是關于a的一次函數，令g(a)=x3a+(1-

3

2

x2)，則原問題轉化為g（a）＞0對?a∈(-

1

2

，

1

2

)恒成立問題．
若x=0，g（a）=1＞0恒成立，
若x≠0，則問題轉化為

g(- 1 2 )＞0 g( 1 2 )＞0

，解得1-

3

＜x＜-1+

3

所以x的取值范圍是1-

3

＜x＜-1+

3

．

點評：本題主要考查了利用導數求在某點處的切線方程以及恒成立的求解．第一問的解題關鍵是要知道函數在這一點處的導數即為在這一點處的切線斜率．第二問的解題關鍵是要轉化為關于a的恒成立問題但要注意的是要對a的系數進行討論！