Question

（2005•東城區一模）已知m∈R，研究函數f(x)=

mx2+3(m+1)x+3m+6

ex

的單調區間．

Answer 1

分析：先利用分式函數的導數法則求出f'（x），然后化簡得f'（x）=

-mx2-(m+3)x-3

ex

，記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，∵e^x＞0．從而只需討論g（x）的正負即可，討論二次項的正負以及g（x）=0有兩個根的大小，從而求出函數的單調區間．

解答：解：f'（x）=

[2mx+3(m+1)]ex-[mx2+3(m+1)x+3m+6]e2

(ex)2

=

-mx2-(m+3)x-3

ex

．…（3分）
記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，
∵e^x＞0．
∴只需討論g（x）的正負即可．
（1）當m=0時，g（x）=-3x-3．
當g（x）＞0時，x＜-1，f'（x）＞0；
當g（x）＜0時，x＞-1，f'（x）＜0．
∴當m=0時，f（x）的增區間為（-∞，-1），減區間為（-1，+∞）．…（5分）
（2）當m≠0時，g（x）=0有兩個根；x₁=-

3

m

，x2=-1，
①當m＜0時，x₁＞x₂，在區間（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區間上是增函數；
在區間（-1，-

3

m

）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區間上是減函數；…（7分）
②當0＜m＜3時，x₁＜x₂，在區間（-∞，-

3

m

），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區間上是減函數；在區間（-

3

m

，-1）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區間上是增函數；…（9分）
當m=3時，x₁=x₂，在區間（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∵f（x）在x=-1處連續，∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數；…（11分）
④當m＞3時，x₁＞x₂，在區間（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區間上是減函數；
在區間（-1，-

3

m

）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在此區間上是增函數．…（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，同時考查了轉化的思想和分類討論的數學思想，屬于中檔題．