Question

（2013•浙江模擬）在直三棱柱（側棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）設D是BB₁的中點，DC₁與平面A₁BC₁所成的角為θ，當棱柱的高變化時，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設AA₁=h，則可得B、B₁、C₁、A₁各點的坐標，得到向量

B1C1

、

A1C1

、

A1B

的坐標，然后根據異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，結合空間向量夾角公式建立關于h的方程，解之可得h=1，即得該棱柱的高；
（II）根據（I）所建立的坐標系，可得D(1，0，

h

2

)，從而有

DC1

=(-1，1，

h

2

)，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出

n

=(h，0，1)是平面平面A₁BC₁的一個法向量，再用直線與平面所成角的定義得

n

與

DC1

夾角的余弦值等于sinθ，由此建立sinθ關于h的函數關系式，結合基本不等式求最值即可得到：當且僅當h=

4	8

時，sinθ取到最大值．由此即可得到sinθ的最大值．

解答：解：分別以AB、AC、AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
設AA₁=h（h＞0），則有B（1，0，0），B₁（1，0，h），C₁（0，1，h），A₁（0，0，h），

B1C1

=(-1，1，0)，

A1C1

=(0，1，0)，

A1B

=(1，0，-h)…（2分）
（Ⅰ）∵異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，
∴cos60°=

| B1C1 • A1B |

| B1C1 |•| A1B |

，即

1

2 • h2+1

=

1

2

，
得

1+h2

=

2

，解得h=1，即得該棱柱的高為1．（6分）
（Ⅱ）∵D是BB₁的中點，得D(1，0，

h

2

)，
∴可得

DC1

=(-1，1，

h

2

)．
設平面A₁BC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，于是

n

⊥

A1B

，

n

⊥

A1C1

，
可得

n • A1B =0 n • A1C1 =0

，即

x-hz=0 y=0，

，可取

n

=(h，0，1)，（8分）
于是sinθ=|cos＜

DC1

，

n

＞|．
而|cos＜

DC1

，

n

＞|=

| DC1 • n |

| DC1 || n |

=

|-h+ h 2 |

h2+1 • 1 4 h2+2

=

h

h4+9h2+8

．
令f(h)=

h

h4+9h2+8

=

1

h2+ 8 h2 +9

，（10分）
∵h2+

8

h2

+9≥2

8

+9，當且僅當h2=

8

h2

，即h=

4	8

時，等號成立．
∴f(h)≤

1

9+2 8

=

1

8 +1

=

2 2 -1

7

，
故當h=

4	8

時，sinθ的最大值

2 2 -1

7

．（12分）

點評：本題給出直三棱柱，在已知上下底面為等腰直角三角形且異面直線所成角為60度的情況下求棱柱的高，并討論直線所平面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的判定與性質和利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．