Question

（本小題滿分10分）

已知△ABC的三邊長都是有理數。

求證cosA是有理數；（2）求證：對任意正整數n，cosnA是有理數。

Answer 1

[解析] 本題主要考查余弦定理、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。

（方法一）（1）證明：設三邊長分別為，，∵是有理數，

是有理數，分母為正有理數，又有理數集對于除法的具有封閉性，

∴必為有理數，∴cosA是有理數。

（2）①當時，顯然cosA是有理數；

當時，∵，因為cosA是有理數， ∴也是有理數；

②假設當時，結論成立，即coskA、均是有理數。

當時，，

，

，

解得：

∵cosA，，均是有理數，∴是有理數，

∴是有理數。

即當時，結論成立。

綜上所述，對于任意正整數n，cosnA是有理數。

（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數及余弦定理知

是有理數。

（2）用數學歸納法證明cosnA和都是有理數。

①當時，由（1）知是有理數，從而有也是有理數。

②假設當時，和都是有理數。

當時，由，

，

及①和歸納假設，知和都是有理數。

即當時，結論成立。

綜合①、②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數。