Question

【題目】如圖，在多面體ABCDNPM中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，PM∥AB，PN∥AD，PM＝PN＝1.

(1)求證：MN⊥PC；

(2)求平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：(1)先利用平行關系證明線線平行，利用菱形的對角線垂直、線面垂直的判定和性質進行證明；(2)建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出有關直線的方向向量和平面的法向量，再利用空間向量的夾角公式進行求解.

試題解析：(1)證明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，連接EF，BD，AC.

由PM∥AB，PN∥AD，易得，所以四邊形MEFN是平行四邊形，

所以MN∥EF，因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，

因為PA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因為AC∩PA＝A，

所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.

(2)建立空間直角坐標系如圖所示，

則C(0，1，0)，M，N，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(，0，0)，

所以＝，＝，＝(0，0，2)，＝(，1，0)，設平面MNC的法向量為m＝(x，y，z)，則令z＝1，得x＝0，y＝，所以m＝；

設平面APMB的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則

令x1＝1，得y1＝－，z1＝0，所以n＝(1，－，0)，

設平面MNC與平面APMB所成銳二面角為α，

則cos α＝＝＝，

所以平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值為.