Question

【題目】定義“正對數”：ln+x= ，現有四個命題： ①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a
②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b
③若a＞0，b＞0，則 b
④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2
其中的真命題有： ． （寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：對于①，當0＜a＜1，b＞0時，有0＜ab＜1，從而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，

∴ln+（ab）=bln+a；

當a≥1，b＞0時，有ab＞1，從而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，

∴ln+（ab）=bln+a；

∴當a＞0，b＞0時，ln+（ab）=bln+a，命題①正確；

對于②，當a= 時，滿足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+ =0，ln+a+ln+b=ln+ +ln+2=ln2，

∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命題②錯誤；

對于③，由“正對數”的定義知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．

當0＜a＜1，0＜b＜1時，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+ ≥0，

∴ b．

當a≥1，0＜b＜1時，有 ，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+ =ln =lna﹣lnb，

∵lnb＜0，

∴ b．

當0＜a＜1，b≥1時，有0＜ ，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+ =0，

∴ b．

當a≥1，b≥1時，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln ，則 b．

∴當a＞0，b＞0時， b，命題③正確；

對于④，由“正對數”的定義知，當x1≤x2時，有 ，

當0＜a＜1，0＜b＜1時，有0＜a+b＜2，從而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當a≥1，0＜b＜1時，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，

ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當0＜a＜1，b≥1時，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，

ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，

∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當a≥1，b≥1時，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），

∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，

∴2ab≥a+b，從而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

命題④正確．

∴正確的命題是①③④．

所以答案是：①③④．

【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．