Question

已知圓C₁：x²+y²-2ax-2y+a²-15=0，圓C₂：x²+y²-4ax-2y+4a²=0（a＞0）．試求a為何值時，兩圓C₁、C₂：
（1）相切；
（2）相交．

Answer 1

分析：（1）將兩圓化成標準方程，算出圓心坐標和它們的半徑．根據兩圓相切的性質，利用兩點間的距離公式建立關于a的等式，即可解出滿足條件的實數a的值；
（2）根據兩圓相交的性質，建立關于a的不等式，解之即可得出滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：圓C₁化成標準方程：（x-a）²+（y-1）²=16，圓C₂化成標準方程：（x-2a）²+（y-1）²=1
∴點C₁、C₂的坐標為（a，1）、（2a，1），半徑分別為R₁=4，R₂=1
（1）當兩圓相切時，圓心距等于兩圓半徑的和或圓心距等于兩圓半徑差的絕對值
即|C₁C₂|=R₁+R₂=5或|C₁C₂|=|R₁-R₂|=3
即

(a-2a)2+(1-1)2

=|a|=5或3，解之得a=5或3（舍負）
∴a=5或3時，兩圓C₁、C₂相切；
（2）當兩圓相交時，圓心距小于兩圓半徑的和而大于兩圓半徑差的絕對值
即|R₁-R₂|＜

(a-2a)2+(1-1)2

＜R₁+R₂，
得3＜|a|＜5，解之得3＜a＜5（舍負）
∴3＜a＜5時，兩圓C₁、C₂相交．

點評：本題給出含有參數的圓方程，在滿足特殊位置關系情況下求參數的值或范圍．著重考查了圓的方程、兩圓位置關系和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．