Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數(shù)f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結合奇偶性和單調(diào)性求解．
（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，作差，變形，判號，得出結論四步，
（3）將b表示為x的函數(shù)，利用單調(diào)性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1] - 2x 4x+1     x∈[-1，0) 0               x∈{0}

，
（2）證明當x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

，設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有實數(shù)解，轉化為b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上單調(diào)遞減；
∴f（x）-x的值域為 (-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}，
∴實數(shù)b的取值范圍為(-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}．

點評：本題考查復雜函數(shù)的單調(diào)性證明以及利用函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式，思路簡單，運算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．屬中檔題．