Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則P在g（x）的圖象上，由線段的中點(diǎn)公式解出 x和y₀ 的解析式，代入函數(shù)y=f（x）可得g（x）的解析式．
（Ⅱ）不等式可化為 2x²-|x-1|≤0，分類討論，卻掉絕對(duì)值，求出不等式的解集．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則P在g（x）的圖象上，
 且 ，即
∵點(diǎn)Q（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故，g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
當(dāng)x≥1時(shí)，2x²-x+1≤0，此時(shí)不等式無(wú)解．
當(dāng)x＜1時(shí)，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤．因此，原不等式的解集為[-1，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的解析式的方法以及解絕對(duì)值不等式的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．