Question

如圖，畫一個邊長為a（a＞0）的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依此類推，記第1個正方形的邊長為a₁，第2個正方形的邊長為a₂，…，第n個正方形的邊長為a_n．
（1）試歸納出或求出a_n的表達式；
（2）記第1個正方形的面積為S₁，第2個正方形的面積為S₂，…，第n個正方形的面積為S_n，求S₁+S₂+S₃+…+S_n．

Answer 1

分析：（1）根據圖形得到：當第n個正方形的對角線長為

2

an時第n+1個正方形的邊長為a_n+1=

2

2

an，得到數列{a_n}是等比數列，根據等比數列的通項公式得到a_n的通項即可；
（2）根據正方形的面積等于邊長的平方可得s_n=a_n²，代入求出s_n的通項公式，然后根據等比數列的前n項和的公式得到S₁+S₂+S₃+…+s_n的和即可．

解答：解：（1）∵第n個正方形的對角線長為

2

an，
∴第n+1個正方形的邊長an+1=

2

2

an．
∴

an+1

an

=

2

2

，即數列{a_n}是首項為a₁=a，公比為

2

2

的等比數列．
∴a_n=（

2

2

）^n-1a．

（2）∵a_n=（

2

2

）^n-1a，
∴Sn=[(

2

2

)n-1a]2=

1

2n-1

a2．
∴數列{S_n}是首項為S₁=a²，公比為

1

2

的等比數列．
∴S₁+S₂+S₃+…+s_n=

a2(1- 1 2n )

1- 1 2

=2a²（1-

1

2n

）．

點評：考查學生掌握等比數列的通項公式及等比數列的前n項和的公式，會利用數學歸納法進行歸納總結得到一般性的規律．