Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為圓上任意一點，過C的切線分別與過A、B兩點的切線交于P、Q．

求證：．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：連結OP、OQ，如圖．∵AP、PQ、BQ為⊙O的切線， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵AP、BQ為⊙O切線，AB為直徑，∴AB⊥AP，AB⊥BQ．∴AP∥BQ． ∴∠A=∠B=90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°．∴∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°． ∵∠1＋∠5=90°，∴∠4=∠5．∴△AOP∽△BQO．∴． ∵AB=2AO=2OB，∴． 證法2：連結OC．同上可證得∠2＋∠3=90°． ∵PQ切⊙O于C點，∴OC⊥PQ． 在Rt△PQO中，由射影定理可得， 利用切線長定理，有PC=AP，BQ=QC．， ∵AB=2OC，∴． 證法3：如圖，過P作BQ的垂線PD，垂足為D． ∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ． ∴四邊形ABDP為矩形，PQ=AB＋BQ．∴AP=BD，AB=PD． 在Rt△PQD中，利用勾股定理得：， ∴． ∴．

提示：

分析：本題利用切線長定理以及相似三角形或勾股定理等，證法較多．