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設函數f(x)=x2-5x-6和函數
(Ⅰ) 求過點(-1,2)且與曲線f(x)相切的直線方程;
(Ⅱ)若函數的圖象與函數g(x)的圖象有且只有一個公共點,求k的取值范圍;
(Ⅲ)設,比較的大小.
【答案】分析:(Ⅰ)根據導數的幾何意義求解該曲線過點(-1,2)的切線方程,注意點(-1,2)不一定是切點,設出切點利用待定系數法求解出所求的切線方程;
(Ⅱ)將圖象交點問題進行轉化與化歸是解決本題的關鍵,注意求圖象的交點就是求使得兩函數值相等時對應方程的根的問題,通過研究相應方程對應的函數的極值求得k的取值范圍;
(Ⅲ)將t進行變形與放縮是解決本題的關鍵,注意絕對值三角不等式的運用和作差法比較大小的思想.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x2-5x-6,
∴f'(x)=2x-5,
設點(m,f(m))在曲線f(x)上,
∴點(m,f(m))處的切線方程為點y-(m2-5m-6)=(2m-5)(x-m),
∵切線過點(-1,2),
∴2-(m2-5m-6)=(2m-5)(-1-m),即m2+2m+3=0,
∴m1=-1,或m2=-3
∴切線方程為7x+y+7=0,或11x+y+15=0;
(Ⅱ)∵
∴方程只有一個解,
即方程只有一個解,
,∴u'(x)=3x2-9x2+6,
當x<1或x>2時,u'(x)>0,當1<x<2時,u'(x)<0,
∴x=1時,u(x)有極大值,x=2時,u(x)有極小值4,
或k<4且k≠2;
(Ⅲ)∵
又∵

=
=

∴t>k>0,

==
∵t>k>0,

點評:本題是函數的綜合應用問題,考查函數圖象過某點處的切線方程的求解,注意點斜式方程和待定系數法的靈活運用;考查函數圖象交點問題的等價轉化思想,要求學生會利用導數求解函數的極值.進而解決一些綜合問題;考查學生運用作差法比較大小的方法,注意放縮法的運用,要求學生具有很強的轉化與化歸能力.
練習冊系列答案
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1x+1
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n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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