Question

（2013•福建）如圖，拋物線E：y²=4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A．點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準線l交于不同的兩點M，N．
（I）若點C的縱坐標為2，求|MN|；
（II）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圓C的半徑．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的方程表示出焦點F的坐標及準線方程，求出C到準線的距離，再利用圓中弦長公式即可求出|MN|的長；
（II）設(shè)C（

y 2 0

4

，y₀），表示出圓C的方程方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韋達定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的縱坐標，從而得到圓心C坐標，由兩點間的距離公式求出|OC|的長，即為圓的半徑．

解答：解：（I）拋物線E：y²=4x的準線l：x=-1，
由點C的縱坐標為2，得C（1，2），故C到準線的距離d=2，又|OC|=

5

，
∴|MN|=2

|OC|2-d2

=2

5-4

=2．
（II）設(shè)C（

y 2 0

4

，y₀），則圓C的方程為（x-

y 2 0

4

）²+（y-y₀）²=

y 4 0

16

+

y

2 0

，
即x²-

y 2 0

2

x+y²-2y₀y=0，由x=-1得y²-2y₀y+1+

y 2 0

2

=0，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則

△=4 y 2 0 -4(1+ y 2 0 2 )=2 y 2 0 -4＞0 y1y2= y 2 0 2 +1

，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+

y 2 0

2

=4，解得y₀=±

6

，此時△＞0
∴圓心C的坐標為（

3

2

，±

6

），|OC|²=

33

4

，
從而|OC|=

33

2

．
即圓C的半徑為

33

2

．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：拋物線的簡單性質(zhì)，韋達定理．其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵．