Question

設O是正三棱錐P-ABC的底面△ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則（ ）
A．有最大值而無最小值
B．有最小值而無最大值
C．無最大值也無最小值
D．是與平面QRS無關的常數

Answer 1

【答案】分析：設正三棱錐P-ABC中，各側棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則v_S-PQR=S_△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ，記O到各面的距離為d，利用v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得結論．
解答：解：設正三棱錐P-ABC中，各側棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，
則v_S-PQR=S_△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ．
另一方面，記O到各面的距離為d，則v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，S_△PQR•d=_△PRS•d+S_△PRS•d+_△PQS•d=PQ•PRsinα+PS•PRsinα+PQ•PS•sinα，
故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），
即=常數．
故選D．
點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查學生的探究能力，正確求體積是關鍵．