Question

（2012年高考（湖南理））已知數列{an}的各項均為正數,記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。

(1) 若a1=1,a2=5,且對任意n∈N﹡,三個數A(n),B(n),C(n)組成等差數列,求數列{ an }的通項公式.

(2) 證明:數列{ an }是公比為q的等比數列的充分必要條件是:對任意,三個數A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數列.

Answer 1

【解析】

解(1)對任意,三個數是等差數列,所以

 

即亦即

故數列是首項為1,公差為4的等差數列.于是

(Ⅱ)(1)必要性:若數列是公比為q的等比數列,則對任意,有

由知,均大于0,于是

 

 

即==,所以三個數組成公比為的等比數列.

(2)充分性:若對于任意,三個數組成公比為的等比數列,

則

,

于是得即

 

由有即,從而.

因為,所以,故數列是首項為,公比為的等比數列,

綜上所述,數列是公比為的等比數列的充分必要條件是:對任意n∈N﹡,三個數組成公比為的等比數列.

【點評】本題考查等差數列、等比數列的定義、性質及充要條件的證明.第一問由等差數列定義可得;第二問要從充分性、必要性兩方面來證明,利用等比數列的定義及性質易得證.