Question

將面積為2的長方形ABCD沿對角線AC折起，使二面角D-AC-B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小值是（　　）

• A、

  8 2 π

  3

• B、

  32π

  3

• C、

  4π

  3

• D、與α的值有關的數

Answer 1

分析：由題意可知，AC的中點就是外接球的球心，三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，利用長方形的面積求出AC的最小值即可．

解答：解：將面積為2的長方形ABCD沿對角線AC折起，使二面角D-AC-B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D-ABC的外接球的球心就是AC 的中點，三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，由題意可設長方形的長為：a，寬為：b，所以ab=2，AC=

a2+b2

≥

2ab

=2，此時a=b=

2

，AC=2，球的半徑為：1，
三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小值是：

4π

3

．
故選C

點評：本題是基礎題，考查球的內接多面體，確定體積的求法，本題的關鍵是確定球心，基本不等式的應用，考查轉化思想，計算能力．