Question

已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．（1）若c_n=n，n∈N^*，求數列{b_n}的通項公式；（2）若A∩B=∅，數列{c_n}的前5項成等比數列，且c₁=1，c₉=8，求

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數n的個數．

Answer 1

分析：（1）根據已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．若c_n=n，n∈N^*，對元素3、5、6、7進行分析，得出數列{b_n}是公差為1的等差數列．分類求出即可．
（2）若A∩B=∅，數列{c_n}的前5項成等比數列，且c₁=1，c₉=8，對元素2進行分類討論，從而求得

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數n的個數．

解答：解：（1）若c_n=n，因為5，6，7∉A，則5，6，7∈B，由此可見，
等差數列{b_n}的公差為1，而3是數列{b_n}中的項，
所以3只可能是數列{b_n}中的第1，2，3項，
若b₁=3，則b_n=n+2，
若b₂=3，則b_n=n+1，
若b₃=3，則b_n=n；
（2）首先對元素2進行分類討論：
①若c₂=2，由{c_n}的前5項成等比數列，得c₄=2³=8=c₉，這顯然不可能；
②若c₃=2，由{c_n}的前5項成等比數列，得b₁²=2，
因為數列{c_n}是將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的，
所以b_n＞0，則b1=

2

，因此數列{c_n}的前5項分別為1，

2

，2，2

2

，4，
這樣bn=

2

n，則數列{c_n}的前9項分別為1，

2

，2，2

2

，4，3

2

，4

2

，5

2

，
上述數列符合要求；
③若c_k=2（k≥4），則b₂-b₁＜2-1，
即數列{b_n}的公差d＜1，
所以b₆=b₁+5d＜2+5=7，1，2，4＜c₉，所以1，2，4在數列{c_n}的
前8項中，由于A∩B=∅，這樣，b₁，b₂，b₆以及1，2，4共9項，
它們均小于8，即數列{c_n}的前9項均小于8，這與c₉=8矛盾．
綜上所述，bn=

2

n，
其次，當n≤4時，

cn+1

cn

=

2

＞

5

4

，

c6

c5

=

3 2

4

＜

5

4

，

c7

c6

=

4

3

＞

5

4

，
當n≥7時，cn≥4

2

，因為{a_n}是公差為

2

的等差數列，
所以cn+1-cn≤

2

，
所以

cn+1

cn

=

cn+cn+1-cn

cn

=1+

cn+1-cn

cn

≤1+

2

4 2

=

5

4

，
此時的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5個．

點評：考查等差數列和等比數列的綜合運用，對元素3的情況采取分類討論的方法求得數列{b_n}的通項公式，體現分類討論的思想；對于（2）的探討，除了分類討論以外，還采用了反證法解決問題，體現了方法的靈活性，增加了題目的難度，屬難題．