Question

a，b∈R，若關于x的方程x²+（a+bi）x+4+3i=0有實數根，則|a|的最小值是

4

．

Answer 1

分析：設方程的實根為m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0，得出關于a，b的制約關系式，看作關于b的函數，求函數最值可以得出結果．

解答：解：設方程的實根為m，代入方程x²+（a+bi）x+4+3i=0得m²+（a+bi）m+4+3i=0，整理，得m²+am+4+（bm+3）i=0
所以

m2+am+4=0① bm+3=0②

，易知m≠0由②得m=-

3

b

，代入①消去m

9

b2

-

3a

b

+4=0，∴a=

9+4b2

3b

所以|a|=

9+4b2

3|b|

≥

2 9•4b2

3|b|

═

2×6|b|

3|b|

=4，當且僅當9=4b²=，b=±

3

2

時取到最小值．
故答案為：4

點評：本題借助于復系數二次方程的根的性質，求參數范圍，考查消元法，基本不等式的應用，轉化能力．