Question

已知函數，其中為正實數，是的一個極值點.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當時，求函數在上的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由為函數的一個極值點，得到便可求出的值，但在求得答案后注意處附近左、右兩側導數符號相反，即成為極值點的必要性；（Ⅱ）對于含參函數的最值問題，一般結合導數考察函數在相應區間的單調性，利用端點值以及函數的極值確定函數的最小值.
試題解析：
（Ⅰ）因為是函數的一個極值點，
所以，因此，，解得，
經檢驗，當時，是的一個極值點，故所求的值為.
4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

令，得
與的變化情況如下：

	+	0	-	0	+

所以，的單調遞增區間是單調遞減區間是
當時，在上單調遞減，在上單調遞增
所以在上的最小值為
當時，在上單調遞增，
所以在上的最小值為
13分