Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所對的圓周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行線的判定得AD∥EC；
（2）在⊙O₁中利用切割線定理，算出PB=3．再在⊙O₂中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O₂利用切割線定理，即可算出
AD的長．

解答：解：（1）連接AB，
∵AC是⊙O₁的切線，∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，可得AD∥EC；
（2）∵PA是⊙O₁的切線，PD是⊙O₂的割線，
∴PA²=PB•PD，即6²=PB（PB+9），解之得PB=3．
又∵⊙O₂中由相交弦定理，得PA•PC=PB•PE，
∴6×2=3×PE，得PE=4．
∵AD是⊙O₂的切線，DE是⊙O₂的割線，
∴AD²=DB•DE=9×16=144，解得AD=12．

點評：幾何證明選講主要考查圓內接四邊行、圓的切線性質、圓周角與弦切角等性質、相似三角形、弧與弦的關系、試題分兩問，難度不大，圖形比較簡單，可以考作輔助線，但非常簡單．