Question

在某兩個正數x、y之間，若插入一個正數a,使x、a、y成等比數列，若另插入兩個正數b、c,使x、b、c、y成等差數列.

求證:(a+1)²≤(b+1)(c+1).

Answer 1

思路分析:本題中的兩個數列是通過x、y聯系在一起的，因此，我們可設法把a、b、c用x、y表示出來，以達到減元目的.

證明:由題設

∴(b+1)(c+1)=bc+b+c+1

=(2x+y)(x+2y)+x+y+1

=［2(x²+y²)+5xy］+(x+y)+1

≥(4xy+5xy)+2+1

=(+1)²=(a+1)².

∴(a+1)²≤(b+1)(c+1).