Question

正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為

2

5

5

．

Answer 1

分析：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立空間直角坐標(biāo)系，確定

OA

為平面BCD的法向量，求出平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)BC=1，則A(0，0，

3

2

)，B(0，-

1

2

，0)，D(

3

2

，0，0)
∴

OA

=(0，0，

3

2

)，

BD

=(

3

2

，

1

2

，0)
由題意，

OA

為平面BCD的法向量
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=（x，y，z），則
由

n • BA =0 n • BD =0

，可得

1 2 y+ 3 2 z=0 3 2 x+ 1 2 y=0

取x=1，則y=-

3

，z=1
∴

n

=(1，-

3

，1)
∴cos＜

n

，

OA

＞=

n • OA

| n || OA |

=

5

5

∴sin＜

n

，

OA

＞=

2 5

5

點(diǎn)評：本題考查二面角的計(jì)算，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．