Question

已知函數f（x）=a+bsin2x+ccos2x的圖象經過點A（0，1）、B（

π

4

，1）．
（1）當a＜1時，求函數f（x）的單調增區間；
（2）已知x∈[0，

π

4

]，且f（x）的最大值為2

2

-1，求f（

π

24

）的值．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出參數a，b，然后將三角函數進行化簡，然后利用三角函數的圖象研究函數的單調增區間．
（2）當x∈[0，

π

4

]，通過三角函數的圖象結合f（x）的最大值，確定參數a，進而求值．

解答：解：（1）由f(0)=1，f(

π

4

)=1得：

a+c=1 a+b=1

即b=c=1-a，所以f(x)=

2

(1-a)sin?(2x+

π

4

)+a．
因為a＜1，所以1-a＞0，所以當2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

時，f（x）為增函數．
∴函數f（x）的單調增區間[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．（6分）
（2）x∈[0，

π

4

]，

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，即sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]．
當1-a＞0，即a＜1時f(x)max?=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，得a=-1；
當1-a＜0，即a＞1時，f(x)max?=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，無解；
當1-a=0，即a=1時

f(x)max=a=2 2 -1

，矛盾．

故f(x)=2

2

sin?(2x+

π

4

)-1，所以f(

π

24

)=2

2

×

3

2

-1=

6

-1．（12分）

點評：本題考查三角函數的恒等變換以及三角函數的圖象和性質，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解決三角函數的關鍵．