Question

已知定義在區間[

b

a

，

d

c

]上的函數f（x）=

ax-b

+

d-cx

（a＞0，c＞0）具有如下性質：f（x）在區間[

b

a

，x0]上單調遞增，f（x）在區間[x0，

d

c

]上單調遞減，且f（x）_max=f（x₀）（其中x₀=

b

a

+

d

c

-

b+d

a+c

）．現給定函數f（x）=

8x-16

+

36-9x

，請你根據上述知識解決下列問題：
（1）求出f（x）的定義域；
（2）對于任意的x1，x2∈[2，

50

17

]，當x₁＜x₂時，比較f（x₁）和f（x₂）的大小；
（3）若f（x）-m＜0的解集為非空集合，求整數m的最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：計算題,新定義,函數的性質及應用

分析：（1）由偶次根式被開方式非負，列出不等式組，解得即可得到定義域；
（2）由新定義，求得x₀，得到單調區間，即可比較大小；
（3）由題意可得，m＞f（x）的最小值，根據單調性，求出f（x）在[2，4]上的最小值．

解答： 解：（1）由

8x-16≥0 36-9x≥0

，解得，2≤x≤4，
可得定義域為[2，4]；                    
（2）由新定義可得，x0=

16

8

+

36

9

-

16+36

8+9

=

50

17

．                             
由f（x）性質可知，f（x）在區間[2，

50

17

]上是單調遞增的，
因為x1，x2∈[2，

50

17

]，且x₁＜x₂，所以f（x₁）＜f（x₂）；       
（3）由f（x）-m＜0可得，m＞

8x-16

+

36-9x

，
由f（x）性質可知，f（x）在[2，

50

17

]單調遞增，f（x）在[

50

17

，4]單調遞減，
因為f(2)=3

2

，f（4）=4，所以f（x）在定義域[2，4]上的最小值為f（4）=4，
由于f（x）-m＜0的解集為非空集合，
所以m＞4，即整數m的最小值為5．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數的單調性及運用：比較大小和求最值，考查運算能力，屬于中檔題．