Question

已知（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項的二次式系數構成等差數列，第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的中間項；
（2）求（1-ax）ⁿ的展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用展開式的第r，r+1，r+2三項的二項式系數構成等差數列，第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中間項．
（2）利用二項式系數的性質，直接求出展開式的系數的最大項即可．

解答：解：（1-ax）ⁿ展開式的第r，r+1，r+2三項的二項式系數構成等差數列，

C

r-1 n

+

C

r+1 n

=2

C

r n

，…①；
第n+1-r與第n+2-r項的系數之和為0，

C

n-r n

(-a)n-r+ 

C

n-r+1 n

(-a)n-r+1=0…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展開式的第r+1與r+2項的二項式系數之比為1：2．即

C

r+1 n+1

：

C

r n+1

=2，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得1+

(n-r)(n-r+1)

(r+1)r

=

2(n-r+1)

r

…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展開式的中間項為

C

4 8

(-3x)4=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展開式中系數最大的項在奇數項中，分別是第一項

C

0 7

=1；第三項

C

2 7

(-3x)2=189x²，
第五項

C

4 7

(-3x)4=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七項

C

6 7

(-3x)6=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展開式中系數最大項是第七項

C

6 7

(-3x)6=5103x⁶．

點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數的性質，考查組合數的求法，考查計算能力．